Лабораторна робота №5
Тема: Створення алгоритмів розв’язування систем алгебраїчних рівнянь.
Мета: навчитися розв’язувати системи алгебраїчних рівнянь засобами математичного пакету Mathcad.
Обладнання: ПК.
Програмне забезпечення: математичний пакет Mathcad 2001i Professional.
Теоретичні відомості
Рішення систем рівнянь
MathCAD дає можливість вирішувати також і системи рівнянь. Максимальне число рівнянь і змінних дорівнює 50. Результатом рішення системи буде чисельне значення шуканого кореня.
Для рішення системи рівнянь необхідно виконати наступне:
Задати початкове наближення для всіх невідомих, вхідних у систему рівнянь. Mathcad вирішує систему за допомогою ітераційних методів.
Надрукувати ключове слово Given. Воно вказує Mathcad, що далі треба система рівнянь.
Введіть рівняння й нерівності в будь-якому порядку. Використайте [Ctrl]= для печатки символу =. Між лівими й правими частинами нерівностей може стояти кожний із символів <, >, > або = і = або <..
Введіть будь-який вираз, що включає функцію Find, наприклад: а:= Find(х, у).
Find(z1, z2, . . .)
Повертає точне рішення системи рівнянь. Число аргументів повинне бути дорівнює числу невідомих.
Малюнок 1. Рішення систем рівнянь в MathCAD
Ключове слово Given, рівняння й нерівності, які випливають за ним, і яке-небудь вираження, що містить функцію Find, називають блоком рішення рівнянь.
Наступні вирази неприпустимі усередині блоку рішення:
Обмеження зі знаком нерівноі.
Дискретний аргумент або вираження, що містять дискретний аргумент у будь-якій формі.
Нерівності виду a < b < c.
Блоки рішення рівнянь не можуть бути вкладені друг у друга, кожен блок може мати тільки одне ключове слово Given й ім'я функції Find.
Функція, що завершує блок рішення рівнянь, може бути використана аналогічно будь-якої іншої функції. Можна зробити з нею наступні три дії:
Можна вивести знайдене рішення, надрукувавши вираження виду:
Find(var1, var2,…) =...
Визначити змінну за допомогою функції Find:
a := Find(x) – скаляр, var := Find(var1, var2,…)– вектор.
Це зручно зробити, якщо потрібно використати рішення системи рівнянь в іншому місці робочого документа.
Визначити іншу функцію за допомогою Find
f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …)...
Ця конструкція зручна для багаторазового рішення системи рівнянь для різних значень деяких параметрів a, b, c,…, безпосередньо вхідних у систему рівнянь.
Повідомлення про помилку
(Рішення не знайдене) при рішенні рівнянь з'являється, коли:
Поставлена задача може не мати рішення.
Для рівняння, що не має речовинних рішень, як початкове наближення взяте речовинне число й навпаки.
У процесі пошуку рішення послідовність наближень потрапила в крапку локального мінімуму нев'язання. Для пошуку шуканого рішення потрібно задати різні початкові наближення.
Можливо, поставлена задача не може бути вирішена із заданою точністю. Спробуйте збільшити значення TOL.
Приклад 1 Малюнка 1 ілюструє рішення системи рівнянь в MathCAD.
Символьне рішення рівнянь
В Mathcad можна швидко й точно знайти чисельне значення кореня за допомогою функції root. Але є деякі задачі, для яких можливості Mathcad дозволяють знаходити рішення в символьному (аналітичному) виді.
Рішення рівнянь у символьному виді дозволяє знайти точних або наближених корінь рівняння:
Якщо розв'язуване рівняння має параметр, то рішення в символьному виді може виразити шуканий корінь безпосередньо через параметр. Тому замість того, щоб вирішувати рівняння для кожного нового значення параметра, можна просто заміняти його значення в знайденому символьному рішенні.
Якщо потрібно знайти всіх комплексних корінь полінома зі ступенем менше або рівної 4, символьне рішення дасть їхні точні значення в одному векторі або в аналітичному або цифровому виді.
Команда Символи -> Змінні -> Обчислити дозволяє вирішити рівняння щодо деякої змінної й виразити його коріння через інші параметри рівняння.
Щоб вирішити рівняння символьно необхідно:
Надрукувати вираження (для уведення знака рівності використайте комбінацію клавіш [Ctrl]=).
Виділити змінну, щодо якої потрібно вирішити рівняння, клацнувши на ній мишею.
Вибрати пункт меню Символи -> Змінні -> Обчислити.
Немає необхідності дорівнювати вираження нулю. Якщо MathCAD не знаходить знака рівності, він припускає, що потрібно дорівняти вираження нулю.
Щоб вирішити систему рівнянь у символьному виді, необхідно виконати наступне:
Надрукувати ключове слово Given.
Надрукувати рівняння в будь-якому порядку нижче слова Given. Упевніться, що для уведення знака = використається [Ctrl]=.
Надрукувати функцію Find, що відповідає системі рівнянь.
Нажати [Ctrl]. (клавіша CTRL, супроводжувана крапкою). Mathcad відобразить символьний знак рівності ->.
Клацнути мишею на функції Find.
Приклад 2 Малюнка 1 ілюструє символьне рішення системи рівнянь в MathCAD.
Завдання
1. Запустити математичний пакет Mathcad 2001i Professional.
2. За допомогою математичного пакету Mathcad виконайте розв’язки систем рівнянь.
Вправа 1. Виконати приклади з Малюнка 1, використовуючи функції Mathcad Find і Given.
Вправа 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь та записати результат, використовуючи функцію Find, варіант згідно списку у журналі
Вправа 3. Символьно розв’язати системи рівнянь, використовуючи функцію Given:
 
3. Зробіть висновок по роботі.
б) Оформлення звіту.
Контрольні питання:
1. Назвіть функції для рішення систем рівнянь в MathCAD й особливості їхнього застосування.
2. Опишіть структуру блоку рішення рівнянь.
3. Який знак рівності використається в блоці рішення? Якою комбінацією клавіш уставляється в документ?
4. Які вирази не припустимі усередині блоку рішення рівняння?
5. Опишіть способи використання функції Find.
6. Як символьно вирішити рівняння або систему рівнянь в MathCAD? Який знак рівності використається? Якою комбінацією клавіш вставляється в документ?
|