Повернутися на головну...
Лабораторна робота №5

Тема:
Створення алгоритмів розв’язування систем алгебраїчних рівнянь.
Мета: навчитися розв’язувати системи алгебраїчних рівнянь засобами математичного пакету Mathcad.
Обладнання: ПК.
Програмне забезпечення: математичний пакет Mathcad 2001i Professional.

Теоретичні відомості

      Рішення систем рівнянь
   MathCAD дає можливість вирішувати також і системи рівнянь. Максимальне число рівнянь і змінних дорівнює 50. Результатом рішення системи буде чисельне значення шуканого кореня.
Для рішення системи рівнянь необхідно виконати наступне:
  • Задати початкове наближення для всіх невідомих, вхідних у систему рівнянь. Mathcad вирішує систему за допомогою ітераційних методів.
  • Надрукувати ключове слово Given. Воно вказує Mathcad, що далі треба система рівнянь.
  • Введіть рівняння й нерівності в будь-якому порядку. Використайте [Ctrl]= для печатки символу =. Між лівими й правими частинами нерівностей може стояти кожний із символів <, >, > або = і = або <..
  • Введіть будь-який вираз, що включає функцію Find, наприклад: а:= Find(х, у).
  • Find(z1, z2, . . .)

    Повертає точне рішення системи рівнянь. Число аргументів повинне бути дорівнює числу невідомих.

    Малюнок 1. Рішення систем рівнянь в MathCAD

       Ключове слово Given, рівняння й нерівності, які випливають за ним, і яке-небудь вираження, що містить функцію Find, називають блоком рішення рівнянь.
       Наступні вирази неприпустимі усередині блоку рішення:

  • Обмеження зі знаком нерівноі.
  • Дискретний аргумент або вираження, що містять дискретний аргумент у будь-якій формі.
  • Нерівності виду a < b < c.
  •    Блоки рішення рівнянь не можуть бути вкладені друг у друга, кожен блок може мати тільки одне ключове слово Given й ім'я функції Find.
       Функція, що завершує блок рішення рівнянь, може бути використана аналогічно будь-якої іншої функції. Можна зробити з нею наступні три дії:
  • Можна вивести знайдене рішення, надрукувавши вираження виду:
  • Find(var1, var2,…) =...
  • Визначити змінну за допомогою функції Find:
    a := Find(x) – скаляр, var := Find(var1, var2,…)– вектор.
       Це зручно зробити, якщо потрібно використати рішення системи рівнянь в іншому місці робочого документа.
  • Визначити іншу функцію за допомогою Find
  • f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …)...
       Ця конструкція зручна для багаторазового рішення системи рівнянь для різних значень деяких параметрів a, b, c,…, безпосередньо вхідних у систему рівнянь.
       Повідомлення про помилку

       (Рішення не знайдене) при рішенні рівнянь з'являється, коли:

  • Поставлена задача може не мати рішення.
  • Для рівняння, що не має речовинних рішень, як початкове наближення взяте речовинне число й навпаки.
  • У процесі пошуку рішення послідовність наближень потрапила в крапку локального мінімуму нев'язання. Для пошуку шуканого рішення потрібно задати різні початкові наближення.
  • Можливо, поставлена задача не може бути вирішена із заданою точністю. Спробуйте збільшити значення TOL.
  • Приклад 1 Малюнка 1 ілюструє рішення системи рівнянь в MathCAD.

          Символьне рішення рівнянь

       В Mathcad можна швидко й точно знайти чисельне значення кореня за допомогою функції root. Але є деякі задачі, для яких можливості Mathcad дозволяють знаходити рішення в символьному (аналітичному) виді.
       Рішення рівнянь у символьному виді дозволяє знайти точних або наближених корінь рівняння:

  • Якщо розв'язуване рівняння має параметр, то рішення в символьному виді може виразити шуканий корінь безпосередньо через параметр. Тому замість того, щоб вирішувати рівняння для кожного нового значення параметра, можна просто заміняти його значення в знайденому символьному рішенні.
  • Якщо потрібно знайти всіх комплексних корінь полінома зі ступенем менше або рівної 4, символьне рішення дасть їхні точні значення в одному векторі або в аналітичному або цифровому виді.
  •    Команда Символи -> Змінні -> Обчислити дозволяє вирішити рівняння щодо деякої змінної й виразити його коріння через інші параметри рівняння.
       Щоб вирішити рівняння символьно необхідно:
  • Надрукувати вираження (для уведення знака рівності використайте комбінацію клавіш [Ctrl]=).
  • Виділити змінну, щодо якої потрібно вирішити рівняння, клацнувши на ній мишею.
  • Вибрати пункт меню Символи -> Змінні -> Обчислити.
  •    Немає необхідності дорівнювати вираження нулю. Якщо MathCAD не знаходить знака рівності, він припускає, що потрібно дорівняти вираження нулю.
       Щоб вирішити систему рівнянь у символьному виді, необхідно виконати наступне:
  • Надрукувати ключове слово Given.
  • Надрукувати рівняння в будь-якому порядку нижче слова Given. Упевніться, що для уведення знака = використається [Ctrl]=.
  • Надрукувати функцію Find, що відповідає системі рівнянь.
  • Нажати [Ctrl]. (клавіша CTRL, супроводжувана крапкою). Mathcad відобразить символьний знак рівності ->.
  • Клацнути мишею на функції Find.
  •    Приклад 2 Малюнка 1 ілюструє символьне рішення системи рівнянь в MathCAD.

    Завдання

       1. Запустити математичний пакет Mathcad 2001i Professional.
       2. За допомогою математичного пакету Mathcad виконайте розв’язки систем рівнянь.

       Вправа 1. Виконати приклади з Малюнка 1, використовуючи функції Mathcad Find і Given.

       Вправа 2. Розв’язати систему лінійних рівнянь та записати результат, використовуючи функцію Find, варіант згідно списку у журналі

    Вправа 3. Символьно розв’язати системи рівнянь, використовуючи функцію Given:

       

       3. Зробіть висновок по роботі.
          б) Оформлення звіту.

    Контрольні питання:
       1. Назвіть функції для рішення систем рівнянь в MathCAD й особливості їхнього застосування.
       2. Опишіть структуру блоку рішення рівнянь.
       3. Який знак рівності використається в блоці рішення? Якою комбінацією клавіш уставляється в документ?
       4. Які вирази не припустимі усередині блоку рішення рівняння?
       5. Опишіть способи використання функції Find.
       6. Як символьно вирішити рівняння або систему рівнянь в MathCAD? Який знак рівності використається? Якою комбінацією клавіш вставляється в документ?