Повернутися на головну...
Лабораторна робота №8

Тема: Створення алгоритмів чисельного диференціювання.
Мета: Навчитися створювати алгоритми чисельного диференціювання, знаходити похідні та використовувати для розв’язку функції математичний пакет Mathcad.
Обладнання: ПК.
Програмне забезпечення: математичний пакет Mathcad 2001i Professional.

Теоретичні відомості

Функція rkfixed(v, x1, x2 npoints, F) має аргументи:
v - вектор початкових умов розмірності n, де n - порядок диференціального рівняння або число рівнянь у системі; х1, х2 - межові точки інтервалу, на якому шукається розв'язок, х1 - початкова точка, х2 - кінцева точка. Початкові умови, задані у векторі v, - це значення функцій в точці х1;
npoints - число точок (не враховуючи початкової точки в яких шукається приблизний розв'язок. Матриця результату, яку повертає функція rkfixed, містить npoints+1 число рядків;
F(x,v) - вектор-функція розмірності n з першими похідними невідомих функцій, записаних у символьному вигляді (вектор правих частин рівнянь).
На рис. 1 - фрагмент документа Mathcad з числовим розв'язком диференціального рівняння 1-го порядку у'=sіn(х у) на відрізку [0, П] з початковими умовами у(0)=1. В результаті розв'язку отримуємо матрицю Y, яка містить у першому стовпці координати 20 вузлів сітки, а в другому - приблизне значення функції в цих вузлах.
ORIGIN := 1 нумерація компонент матриць та векторів буде починатися з одиниці
у1 := 1 задання початкового значення
D(x,y) :=sin(х у1) функція, що задає праву частину диференціального рівняння
Y:= rkfixed(y, 0, П, 20, D) знаходження розв'язку у 20 точках. i:= 1.. 20
   
Рис. 1

   На рис. 2 - фрагмент документа Mathcad з числовим розв'язком диференціального рівняння 2-го порядку у''=е-xy на відрізку [0, 3] з початковими умовами y(0)=0, y'(0)=1. Попередньо необхідно звести рівняння 2-го порядку до еквівалентної системи диференціальних рівнянь 1-го порядку. Введемо позначення у1(х)=у(х) та у2(х)= у'(х). Тоді, оскільки у''(х)=у'2(х), отримаємо
   

ORIGIN := 1


Подамо диференціальне рівняння другого порядку системи двох диференціальних рівнянь першого порядку
y1 = 0     y2 = 1 - задання вектора початкових значень

- вектор-функція, що задає праві частини диференціальних рівнянь
Y := rkfixed(y, 0, 3, 30, D) знаходження розв'язку у 30 точках. і := 1.. 20

   
Рис. 2

У першому стовпці матриці Y координати х, у другому - значення функції у(х), у третьому -у'(х).

Завдання

1. Запустити математичний пакет Mathcad 2001i Professional.
2. Визначити символьне значення першої й другої похідних f(x) (Таблиця 1), використовуючи команду Символика -> Переменная -> Дифференциация.
Результати записати у звіт.

3. Виконайте приклади застосування функцій при розв’язуванні диференціальних рівнянь (Рис. 1 і Рис. 2). Виконання прикладів показати викладачу.
4. Зробіть висновок по роботі.