Головна
1. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
2. Похибки інтерполяційної формули Лагранжа
3. Інтерполяційні формули Ньютона
4. Похибки інтерполяційних формул Ньютона
5. Інтерполяція в середині таблиці
6. Вибір вузлів інтерполяції
Розділ 6. Інтерполяція і наближення функцій

6.1. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
Виходячи з однозначності інтерполяційного многочлена , можна побудувати поліном, коефіцієнти якого визначаються із системи


Позначимо задані значення f(xi) = yi. Оскільки шуканий поліном повинен приймати в заданих вузлах x0, x1, ..., xn значення, що збігаються зі значеннями f(x0), f(x1), ..., f(xn), можна записати у вигляді:
     (6.1)

де Фj(x) - многочлен степеня n, що у вузлах інтерполяції задовольняє такі умови:

Даний варіант многочлена називаають інтерполяційним поліномом Лагранжа. Для пошуку Фj(x) знаходять многочлен степеня n, що перетворюється наа нуль у вузлах інтерполяції xi (i = 0, 1, ..., j-1, j+1, n) і дорівнює одиниці у точці xj. Многочлен, що задовольняє ці вимоги, може бути записаний у вигляді:

Тоді, якщо у виразі (6.1) Фj(x) знайдені у вказаний вище спосіб, то інтерполяційний многочлен (6.1) називається інтерполяційним многочленом Лагранжа. Позначимо його як Ln(x), для того щоб відрізняти цю формулу від інших випадків інтерполяції, остаточно:
     (6.2)

Побудова інтерполяційного многочлена Лагранжа в такому вигляді для кожної конкретної задачі пов'язана зі значними обчислювальними затратами.
задача інтерполяції значно спрощується, якщо значення xi є рівновіддаленими, тобто xi = x0 + ih, (i = 1, 2, ..., n), тоді можна ввести позначення

і інтерполяційний поліном буде мати вигляд:
     (6.3)

У (6.3) коефіцієнти перед знаком суми

не залежать від значень функції f(x), ні від відстані між вузлами інтерполяції h. Їх називають коефіцієнтами Лагранжа.

6.2. Похибки інтерполяційної формули Лагранжа
Різницю між функцією f(x) та її інтерполяційним наближенням Ln(x) називають залишковим членом інтерполяційної формули або похибкою інтерполяції:

rn(x) = f(x) - Ln(x).     (6.4)

Судячи з формули (6.2) зрозуміло, що у вузлах інтерполяції ця похибка дорівнює нулю, тому похибку (6.4) необхідно оцінювати в інших точках відрізка [a, b]. Для цього припускають, що інтерпольована функція f(x) має на відрізку [a, b] неперервні похідні до порядку n+1. Такі припущення виконуються для більшості випадків, із якими доводиться стикатися на практиці.
Будемо вважати, що f(x) - відома функція. Побудуємо інтерполяційний поліном , причому в n+1 вузлах інтерполяції f(xi) = Ln(xi), i = 0, 1, 2, ..., n. Потрібно оцінити похибку rn(x) у заданій точці відрізка [a, b], що не є вузлом інтерполяції:

Введемо допоміжну функцію
     (6.5)

у випадку, коли z = x, одержуємо = 0 з огляду на співвідношення (6.4). Припустимо, що похибка має вигляд:

де С - деяка постійна, котру можна визначити як

Із умов зрозуміло, що перетворюється на нуль принаймі в n+2 точках x, x0, x1, ..., xn. За теоремою Ролля, якщо фуункція в точках a і перетворюється на нуль, то знайдеться точка на відрізку [a, ], похідна якої теж перетворюється на нуль. Тобто всередині кожного проміжку x, x0, x1, ..., xn знайдуться точки , похідні в яких дорівнюють нулю. Можна стверджувати, що:

Можна вважати, що на відрізку [a, b] знайдеться точка , для якої . Знайдемо значення

Оскільки Ln(z) - поліном степеня n, то Ln(n+1)(x) = 0, rn(z) - поліном степеня n + 1, тому rn(n+1)(z) = (n + 1)!C. Тоді . Звідси одержимо вираз для константи:

Тоді на підставі припущення про вид похибки маємо:
     (6.6)

Похибку інтерполяції полінома Лагранжа можна оцінити в такий спосіб:
     (6.7)

де

Для випадку, коли f(x) є поліномом степеня n, інтерполяція, проведена по будь-яких точках x0, x1, ..., xn, здійснюється точно, тобто
Ln(x) = f(x).

Формула (6.7) дає можливість провести апріорну оцінку похибки, тобто для випадку аналітично заданої функції f(x) провести оцінювання до початку обчислень.

6.3. Інтерполяційні формули Ньютона
Для побудови інтерполяційних поліномів Ньютона необхідно спочатку ввести поняття скінченних і розділених різниць. Нехай є система значень заданої функції у вузлах інтерполяції f(x0), f(x1), ..., f(xn). Скінченними різницями першого порядку називають величини, що обчислюються за виразами

     (6.8)

а скінченними різницями другого порядку називать:
     (6.9)

У загальному вигляді різниця m-го порядку обчислюється за формулою
     (6.10)

Розділені різниці першого порядку для f(x0) у вузлах інтерполяції мають вигляд:
     (6.11)

Розділені різниці другого порядку записують у вигляді:
     (6.12)

Взагалі, якщо розділені різниці k-го порядку вже визначені, то розділені різниці (k + 1)-го порядку знаходять за допомогою формули:
     (6.13)

Використовуючи розділені різниці, можна одержати формулу Ньютона для нерівних проміжків у вигляді:
     (6.14)

Переконаємося, що отриманий вираз дійсно є інтерполяційним поліномом, а саме він є поліномом n-го степеня і приймає у вузлах інтерполяції задані значення:

Вибравши довільну точку xk, , можна довести, що

тобто всі вимоги до інтерполяційних многочленів виконуються.
У тому випадку, коли шукані точки розташовані ближче до кінця таблиці, використовується формула Ньютона для інтерполяції назад:
     (6.15)

Так само, як і (6.14) ця формула є поліномом n-го степеня у вузлах інтерполяції приймає задані значення.
Формули (6.14) і (6.15) використовуються для довільно розташованих вузлів. Однак дуже часто ці вузли будуються регулярно. Розглянемо окремий випадок формули Ньютона для інтерполяції на початку таблиці, якщо вузли рівновіддалені. Нехай відстань між сусідніми вузлами xi - xi-1 = h, i = 1, 2, ..., n. Запишемо розділені різниці у формулі (6.14) скориставшись скінченними різницями:

Розділену різницю k-го порядку замінимо співвідношенням:

Введемо заміну (x - x0)/h = t.
Тоді формула Ньютона для інтерполяції на початку таблиці з рівновіддаленими вузлами буде мати вигляд:
     (6.16)

Формула Ньютона для інтерполяції наприкінці таблиці з рівновіддаленими вузлами, якщо прийняти, що t = (x - xn)/h, буде мати вигляд
     (6.17)

Якщо обчислювані скінченні різниці записувати в таблиці, то для формули (6.16) буде використовуватися верхній рядок різниць, а для формули (6.17) - нижній косий рядок різниць. Необхідно пам'ятати, що кожна з отриманих формул Ньютона є іншою формою запису многочлена Лагранжа, і що різняться ці формули тольки застосовуваними скінченними різницями (за умови, що в них використані ті ж самі вузли інтерполяції). Обираючи конкретну формулу, потрібну зважати на те, що звичайно буває зручніше вести обчислення, якщо для інтерполяції спочатку використовуються найближчі до x вузли, а потім підключаються більш віддалені. При цьому обчислюване значення здебільшого залежатиме від перших членів інтерполяційних формул. У цьому випадку легше встановити, на якій різниці варто закінчити обчислення.

6.4. Похибки інтерполяційних формул Ньютона
Оскільки поліноми Лагранжа і Ньютона, побудовані на основі однієї й тієї ж самої таблиці, різняться лише формою запису, зображення похибки у вигляді (6.7) справедливе як для формул Лагранжа, так і для формул Ньютона.
Можна обчислити залишковий член інтерполяційних формул Ньютона, якщо встановити зв'язок між розділеною різницею порядку (n + 1) і (n + 1)-ю похідною функції f(x). Для цього запишемо розділену різницю f(x, x0, x1, ..., xn) в такому вигляді:


порядок її дорівнює n. Звідси можна записати:

Тоді похибку інтерполяційної формули можна зобразити у вигляді:
     (6.18)

Порівнявши отриманий вираз зі співвідношенням (6.7), можна стверджувати, що існує деяка точка є [a, b], для якої

Таким чином, для оцінки похибки залишкового члена інтерполяційних формул Ньютона може бути використана залежність (6.7).

6.5. Інтерполяція в середині таблиці
Позначимо через x0 внутрішній вузол таблиці. Припустимо, що точка інтерполяції x лежить поблизу x0, з того чи іншого боку. Будемо залучати для інтерполяції табличні точки в такому порядку: спочатку виберемо x0, а потім пари точок (x0 + h;x0 - h), (x0 + 2h;x0 - 2h), ..., (x0 + kh;x0 - kh). Число взятих вузлів буде непарним і рівним 2k + 1. Позначимо, як і раніше,

t = (x - x0)/h,
f(x0) = f0, f(x1) = f-1, ... .

Формула Гаусса для випадку, коли x > x0, має такий вигляд:
     (6.19)

Якщо шукана точка x знаходиться в середині таблиці і зв'язана з x0 співвідношенням x < x0, формула Гаусса використовується у вигляді:
     (6.20)

На основі двох представлених формул Гаусса можна одержати в результаті перетворень формули Стирлінга, Бесселя і Еверетта.
Обчисливши середнє арифметичне першої та другої інтерполяційних формул Гаусса (6.19) і (6.20) одержимо формулу Стирлінга:
     (6.21)

Легко обчислити, що Sn(xi) = yi, коли .
Для виведення формули Бесселя використовується друга інтерполяційна формула Гаусса (6.20) Після нескладних перетворень одержимо:
     (6.22)

У формулі Бесселя всі члени, які містять різниці непарного порядку, мають множник t - 1/2, тому, якщо t = 1/2, формула (6.22) значно спрощується, оскільки всі члени, які містять t - 1/2 перетворюються на нуль.
За інтерполяції функцій, заданих таблично з постійним кроком аргументу h, слід керуватися такими правилами. Якщо значення x знаходиться близько до початку відрізка, на якому задана таблиця значень функції, то для інтерполяції потрібно використовувати формулу Ньютона для інтерполяції вперед (6.16),а коли x близькі до кінця відрізка - формулу Ньютона для інтерполяції назад (6.17), тому що ці формули допускають застосування правильних різниць до максимального порядку. Якзо аргумент x, для якого потрібно обчислити значення функції, знаходиться в середині таблиці, рекомендується використовувати формулу Стирлінга, якщо |t| 1/4, і формулу Бесселя - якщо 1/4 |t| 3/4. Крім того, в разі використання формули Стирлінга слід враховувати в ній останню, правильну різницю непарного порядку, а у формулі Бесселя - останню, правильну різницію парного порядку.
Залишкові члени інтерполяційних формул для середини таблиці приблизно дорівнюватимуть першому невраховуваному члену.
Запишемо без доведення залишкові члени для формул Стирлінга і Бесселя. залишковий член інтерполяційної формули Стирлінга, якщо 2k, - порядок максимальної використовуваної різниці таблиці й x є [x0 - kh, x0 + kh], має вигляд:
     (6.23)

де

Залишковий член інтерполяційної формули Бесселя, якщо порядок максимальної використаної різниці таблиці дорівнює 2k + 1 і x є [x0 - kh, x0 + kh], має вигляд:
     (6.24)

де

6.6. Вибір вузлів інтерполяції
Похибки інтерполяційних формул (6.6) дорівнюють добутку двох множників, з яких один, f(n+1)(), залежить від властивостей функції f(x) і не піддається корегуванню, а величина іншого, , визначається винятково вибором вузлів інтерполяції.
Задача про раціональний вибір вузлів інтерполяції xi (коли задана кількість вузлів n) для того, щоб поліном мав найменше максимальне значення за абсолютною величиною на відрізку [a, b], була розв'язана Чебишевим, який довів, що найкращий вибір задається формулою:

     (6.25)

де

У цьому випадку можна стверджувати, що . За допомогою цих залежностей можна зменшити похибку інтерполяції.