Головна
1. Чисельне диференціювання функцій
2. Формули чисельного диференціювання на основі першої інтерполяційної формули Ньютона
3. Формули чисельного диференціювання на основі інтерполяційного полінома Лагранжа
4. Залишковы члени формул чисельного диференцыювання
5. Формули диференціювання для практичних обчислень
6. Чисельне інтегрування функцій
7. Формули прямокутників
8. Формула трапецій
Розділ 7. Чисельне диференціювання та інтегрування функцій

7.1. Чисельне диференціювання функцій
Задача чисельного диференціювання полягає у знаходженні значень похідних функції y= f(x) у заданих точках у випадку, коли аналітичний запис функції f(x) невідомий або дуже складний чи функція задана таблично. Привабливість чисельного підходу здебільного пояснюється наявністю простих залежностей, за допомогою яких похідні в заданих точках можна апроксимувати декількома значеннями функції в цих і близьких до них точках.
Конструювання формул наближеного диференціювання полягає в тому, що функцію f(x) на заданому відрізку [a, b] замінюють відповідною апроксимуючою функцією , а потім вважають, що похідні від функцій f(x) і збігаються, наприклад:


де

Аналогічно знаходять похідні вищих порядків від функції f(x). При цьому апроксимуюча функція найчастіше задається у вигляді полінома.
Природно, що тоді похідні f(x) обчислюються з деякою похибкою. Якщо через R(x) позначити залишковий член
R(x) = f(x) - ,     (7.1)

то похибку R'(x) можна записати як
     (7.2)

Такі ж формули диференціювання можна побудувати і для знаходження похідних вищих порядків, тобто
ф(k)(x) = f(k)(x) - R(k).

Слід зазначити, що малість залишкового члена R(x) не свідчить про малість залишкових членів похідних, бо похідні від малих функцій можуть бути досить великими. У загальному випадку наближене диференціювання є менш точною операцією, ніж інтерполяція, тому що для як завгодно близьких функцій f(x) і різниця між їх похідними може бути як завгодно великою. Наявність великої похибки під час обчислення значень похідної пояснюється ще й тим, що значення функцій, які входять до формул диференціювання, здебільшого мають деяку похибку. Однак, застосовуючи виважений підхід до вибору інтерполяційної формули та її порядку, можна отримати результат із необхідною точністю.

7.2. Формули чисельного диференціювання на основі першої інтерполяційної формули Ньютона
Нехай функція f(x) задана в рівновіддалених точках xi = a + ih, i = 0, 1, ..., n відрізка [a, b] значеннями fi = f(xi).
Щоб обчислити похідні f'(x), f''(x) і т.д., замінимо f(x) інтерполяційним поліномом Ньютона для інтерполяції вперед, тобто


де

Для отримання скінченно-різницевої формули чисельного диференціювання візьмемо похідні від обох частин тотожності, скориставшись співвідношеннями

тому що

Тоді
     (7.3)

Для обчислення другої похідної використаємо співвідношення

Тоді формула чисельного диференціювання матиме такий вигляд:
     (7.4)

У разі потреби на основі різних інтерполяційних формул, можна обчислити похідні функції будь-якого порядку.
Користуючись виразом (7.3) можна отримати формули чисельного диференціювання для інтерполяційних поліномів різних степенів. Для n = 1 маємо формулу чисельного диференціювання на основі лінійного інтерполяційного полінома:
     (7.5)

для n = 2 маємо формулу чисельного диференціювання на основі квадратичного полінома
     (7.6)

Формулу на основі кубічної інтерполяції отримуємо, приймаючи, що n = 3:
     (7.7)

і т.д. Слід відмітити, що в разі обчислення похідних за формулами (7.5)-(7.7) у фіксованій точці xi як x0 варто вибирати найближче табличне значення аргументу.
Інколи виникає потреба обчислити значення похідної від функції f(x) безпосередньо у вузлах інтерполяції, тобто для t = 0. У цьому випадку формули чисельного диференціювання спрощуються, наприклад з виразу (7.3) маємо
     (7.8)

Формула ща більш спроститься, якщо мова буде йти про окремі випадку інтерполяції - лінійної, квадратичної, кубчної (7.5)-(7.7). Необхідні скінченні різниці обчислюються за схемою побудови скінченних різниць:

7.3. Формули чисельного диференціювання на основі інтерполяційного полінома Лагранжа
Часом у формулах чисельного диференціювання зручніше застосувати не скінченні різниці функції, а її значення. Для отримання таких формул використовують поліном Лаагранжа. Роглянемо випадок, коли функція задана таблично в рівновіддалених точках x0, x1, x2, ..., xn, тобто відомі xi = x0 + ih (i = 0, 1, ..., n) і значення f(xi), i = 0, 1, ..., n. Для заданої системи вузлів xi побудуємо інтерполяційний поліном Лагранжа у вигляді:

     (7.9)

де . Скористаємось заміною:

тоді отримаємо
     (7.10)

Многочлен перетворимо в такий спосіб:
     (7.11)

Тобто для випадку рівновіддалених вузлів поліном Лагранжа можемо записати в такому вигляді:
     (7.12)

Беручі до уваги, що dx/dt = h, отримаємо
     (7.13)

Похідні вищих порядків знаходять аналогічно.
У випадку довільного розташування вузлів іноді використовують метод невизначених коефіцієнтів. Цей метод дозволяє уникнути громіздких виразів, поява яких пов'язана з перетвореннями полінома лагранжа, і обчислити значення похідних будь-якого порядку у вузлах інтерполяції. Для цього шукану формулу записують у вигляді:
     (7.14)

і підбирають коефіцієнти з умови R(x) = 0, якщо . Тоді одержують систему для обчислення невідомих коефіцієнтів ci:
     (7.15)

7.4.Залишкові члени формул чисельного диференціювання
Для виведення формул залишкових членів вважатимемо, що функція f(x) достатньо гладка. Нехай вираз R(x) = f(x) - визначає похибку, яка виникає через заміну функції f(x) інтерполяційним поліномом Ньютона, а вираз (7.2) - похибку похідної. Скористаємося оцінкою залишкового члена:


Припускаючи, що функція f(x) неперервно диференційована k + 2 разів, отримаємо:
     (7.16)

Якщо похідну необхідно обчислити у вузлі інтерполяції, то можна прийняти, що x = x0 і, отже, t = 0. У цьому випадку вираз для залишкового члена спрощується:
     (7.17)

Оцінки (7.16)-(7.17) є апріорними і залежать від значення , яке в загальному випадку невідоме. За малих h ці значення наближено можуть бути замінені скінченними різницями:

Тоді залишковий член матиме такий вигляд:
     (7.18)

Аналогічно знаходять залишкові члени для похідних вищих порядків.
Оскільки формула Ньютона стає такою ж, як і формула Лагранжа, коли в розрахунку присутні всі вузли інтерполяції, то в разі чисельного диференціювання за формулою Лагранжа для оцінки залишкового члена можуть бути використані всі вирази (7.16)-(7.18), якщо в них k замінити на n.
Можна отримати й оцінку залишкового члена, що враховує специфіку формули Лагранжа. Для оцінки похибки

скористаємося формулою похибки інтерполяційного полінома Лагранжа:

Враховуючи неперервну диференціальність f(x) до (n + 2)-го порядку включно, знаходимо:
     (7.19)

Звідси, враховуючи формулу (7.11), отримуємо похибку похідної у вузлах:
     (7.20)

Аналогічні оцінки для похибки можна отмати й у разі використання інших інтерполяційних формул. Існують також інші вирази формул чисельного диференціювання, які відмінні від (7.16)-(7.20). Проте такі вирази малопридатні для практичного оцінювання похибок, оскільки в них використовуються похідні більш високих порядків, ніж ті, що обчислюються. Однак слід відзначити їх важливість для якісного порівняння різних апроксимацій похідних. Цими формулами можна скористатися і для оцінювання точності результатів чисельного диференціювання, заміняючи значення скінченними різницями , як це зроблено у (7.18).

7.5. Формули диференціювання для практичних обчислень
На основі виразів (7.5)-(7.7) та (7.14) можна записати співвідношення, які на практиці застосовуються для апроксимації похідних перших трьох порядків від функцій, заданих таблично (табл. 7.1-7.3).
Таблиця 7.1. Формули для оцінок перших похідних


Таблиця 7.2. Формули для оцінок других похідних

Таблиця 7.3. Формули для оцінок третіх похідних

Різниця між окремими формулами найбільш чітко проявляється у разі їх практичного застосування для оцінювання значень похідних.
Для покращення оцінки похідних можна застосувати екстраполяцію Річардсона. Для формул із похибками обчислень 0(hp) уточнений результат визначається виразом
     (7.21)

де D(h2) і D(h1) - оцінки похідних, обчислені з кроками h2 і h1. Наприклад, якщо h1 = 2h2, для симетричних формул із похибкою 0(h2) уточнення за формулою (7.21) підвищує порядок точності до 0(h4). І тоді формула має такий вигляд:
     (7.22)

Для несиметричних формул із похибкою 0(h) вираз (7.21) спрощується:
     (7.23)

і дозволяє підвищити порядок точності до 0(h2).
Формули чисельного диференціювання застосовують дуже широко. Наприклад, симетричні формули для оцінок других похідних використовують під час розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь із частинними похідними. Несиметричні обернені формули застосовують для апроксимації перших похідних у раничних умовах для крайових задач і розв'язання жорстких звичайних диференціальних рівнянь із початковими умовами і т.д.

7.6. Чисельне інтегрування функцій
Розв'язати задачу інтегрування означає обчислити інтеграл Рімана для деякої функції f(x) на заданому інтервалі [a, b]:

     (7.24)

Якщо функція f(x) неперервна на інтервалі [a, b] і відома її початкова функція F(x), то можна аналітично знайти інтеграл J за формулою Ньютона-Лейбніца:
J = F(b) - F(a).

Однак у багатьох випадках початкову функцію F(x) не можна знайти аналітично чи f(x) є занадто складною, що утруднює обчислення інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца, або воно взагалі стає неможливим. Часто на практиці підінтегральна функція f(x) задається таблично, що також унеможливлює використання аналітичних методів.
У всіх згаданих випадках для обчислення інтеграла використовують чисельні методи. Традиційний підхід полягає в тому, що функцію f(x) на відрізку [a, b] заміняють інтерполяційною функцією , наприклад поліном Лагранжа або Ньютона, а потім приймають
     (7.25)

де R(x) - деяка похибка формули інтегрування.
У цьому випадку функція має бути такою, щоб інтеграл можна було обчислити безпосередньо. Якщо функція f(x) задана аналітично, то наближено обчислити визначений інтеграл (7.24) можна заміною інтеграла скінченною сумою. При цьому відрізок інтегрування [a, b] розбивається на n однакових частин з кроком

У вузлах xi = a + ih, i = 0, 1, 2, ..., n знаходяться значення підінтегральної функції f(xi), i = 0, 1, 2, ..., n, і шукана площа (значення інтеграла) обчислюється як
     (7.26)

де ci - задані числові коефіцієнти.
Наближена рівність
     (7.27)

називається квадратурною формулою, а ci - коефіцієнтами квадратурної формули.

7.7. Формули прямокутників
Найпростіший підхід до обчислення значення інтеграла полягає у заміні площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, сумою площ прямокутників, тобто функція f(x) апроксимується поліномом нульового степеня.
Для побудови формули чисельного інтегрування на всьому відрізку [a, b] спочатку необхідно побудувати квадратурну формулу для інтеграла на частковому відрізку, а потім скористатися властивістю інтеграла


Спочатку розглянемо метод центральних прямокутників. Замінимо значення інтеграла на частковому відрізку [x0, x1] площею прямокутника:

де - центральна точка відрізка.
Отримана формула називається формулою центральних прямокутників на частковому відрізку. Це означає, що площа криволінійної трапеції заміняється площею прямокутника (рис. 7.1). Тоді похибку на частковому відрізку визначимо як:

Рис. 7.1. Геометрична інтерпретація методу центральних прямокутників на чаастковому відрізку

Припустимо, що функкція f(x) неперервна разом зі своїми похідними до другого порядку включно. Розкладемо функцію f(x), x є [x0, x1] в околі точки у ряд Тейлора.
Проінтегруємо останній вираз на інтервалі [x0, x1]:

Виразимо похибку:

Виходячи з того, що h = x1 - x0, визначимо

Приймемо, що . Тоді для похибки формули центральних прямокутників на частковому відрізку справедлива оцінка

Підсумовуючи праві частини рівняння (7.27), отримаємо узагальнену формулу центральних прямокутників (рис. 7.2):
     (7.28)

Загальна похибка цієї формули дорівнює сумі похибок на всіх часткових відрізках:

чи
     (7.29)

Рис. 7.2. Геометрична інтерпретація методу центральних прямокутників на інтервалі

Порядок точності отриманої формули - 0(h2).
Для оцінювання точності потрібно знати найбільше значення другої похідної. Щоб похибка не перевищувала задане значення крок інтегрування необхідно вибирати з умови
     (7.30)

Приклад 7.1



Методом центральних прямокутників обчислимо інтеграл

із точністю = 0,0001.
Спочатку визначимо, з яким кроком необхідно вести розрахунки, щоб забезпечити бажану точність. задамо функцію і обчислимо її другу похідну:

Вона матиме такий вигляд:

Тепер побудуємо графік функції для другої похідної (рис. 7.3) на заданому інтервалі інтегрування:


Рис. 7.3. Графік другої похідної функції

За графіком визначимо, що M2 = f2[0.8]. Знайдемо це значення:

Тепер можна обчислити крок інтегрування, виходячи з умови (7.30), як:

Задамо h = 0,04, тоді n = 15; обчислимо значення інтеграла:

Одержимо значення інтеграла J = 0.248403.

Формули інтегрування на основі прямокутників можуть бути побудовані й за іншого розташування вузлів. У загальному випадку формулу прямокутників можна записати в такому вигляді:

     (7.31)

Виходячи з (7.31) формулу центральних прямокутників (7.28) можна отримати, якщо за q прийняти значення q = x0 + h/2. Коли q = x0 отримаємо формулу лівих прямокутників (рис. 7.4), а для q = x0 + h - формулу правих прямокутників (рис. 7.5).
У формулі лівих прямокутників залишковий член має такий вигляд:


Рис. 7.4. Геометрична інтерпретація методу лівих прямокутників


Рис. 7.5. Геометрична інтерпретація методу правих прямокутників

Залишковий член формули правих прямокутників має такий вигляд:

Похибка обчислень двох останніх формул дорівнює 0(h); вона більша, ніж для формули центральних прямокутників, через порушення симетрії.

7.8. Формула трапецій
Тепер розглянемо підхід, що полягає в заміні функції f(x) інтерполяційним поліномам першого степеня. Спочатку визначимо варіант заміни на частковому відрізку [x0, x1] площі криволінійної трапеції площею прямокутної трапеції, побудованої по тих же точках (рис. 7.6). Ця заміна може бути зроблена у такий спосіб:



Рис. 7.6 Геометрична інтерпретація методу трапецій на частковому відрізку

Оціними похибку R1(f) у разі заміни f(x) інтерполяційним поліномом першого степеня на частковому відрізку [x0, x1]:

де

Виконаємо такі перетворення:

де
Складена формула трапецій для всього інтервалу має такий вигляд:
     (7.32)

Геометрично метод трапецій проілюстровано на рис. 7.7.

Pис. 7.7. Геометрична інтерпретація методу трапецій для інтервалу

Похибка цього методу обчислюється як сума похибок на всіх часткових інтервалах:

і визначається як
     (7.33)